Question

【題目】已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．

（1）如圖1，求證：EAEC=EBED；

（2）如圖2，若，AD是⊙O的直徑，求證：ADAC=2BDBC；

（3）如圖3，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）4．

【解析】

試題分析：（1）由同弧所對的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結論；

（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點F由B是弧AC的中點得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．證得△CBF∽△ABD．即可得到結論；

（3）如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF得到AF為⊙O的直徑于是得到∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，由三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是結論可得．

試題解析：（1）∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EAEC=EBED；

（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點F，∵B是弧AC的中點，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD為⊙O直徑，∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°，∴△CBF∽△ABD．∴，故CFAD=BDBC，∴ACAD=2BDBC；

（3）如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，∴AF為⊙O的直徑，∴∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．