Question

【題目】如圖, 在平面直角坐標系中,點A，B分別是軸正半軸, 軸正半軸上兩動點, ， ，以AO，BO為鄰邊構造矩形AOBC，拋物線交軸于點D，P為頂點，PM⊥軸于點M．

（1）求， 的長(結果均用含的代數式表示)．

（2）當時,求該拋物線的表達式．

（3）在點在整個運動過程中．

①若存在是等腰三角形,請求出所有滿足條件的的值．

②當點A關于直線DP的對稱點恰好落在拋物線的圖象上時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）OD長為k，PM的長為k+3；

（2）該拋物線的表達式為；

（3）①滿足條件的的值為， 6，或

②的值為.

【解析】（1）點D在y=﹣x2+3x+k上，且在y軸上，即y=0求出點D坐標，根據拋物線頂點公式，求出即可；

（2）先用k表示出相關的點的坐標，根據PM=BM建立方程即可；

（3）①先用k表示出相關的點的坐標，根據△ADP是等腰三角形，分三種情況，AD=AP，DA=DP，PA=PD計算；

②由點P，D坐標求出直線PD解析式，根據PD⊥AA′，且A（0，2k），確定出AA′解析式，繼而求出交點，再求出A′的坐標即可．

解：（1）把x=0，代入，得．∴．

∵，∴．

（2）∵，∴, ．

又∵， ，∴，解得．

∴該拋物線的表達式為．

（3）①

Ⅰ）當點P在矩形AOBC外部時

如圖所示，

過P作PK⊥OA于點K，當AD=AP時,

∵AD=AO-DO=2k-k=k，

∴AD=AP =k，KA=KO-AO=PM-AO=

KP=OM=2，在Rt△KAP中，

∴，解得．

Ⅱ）當點P在矩形AOBC內部時

當PD=AP時,如圖所示，

過P作PH⊥OA于H，

AD=k，HD=，

又∵HO=PM= ，

∴，解得．

當DP=DA時,如圖所示，

過D作PQ⊥PM于Q，

PQ=PM-QM=PM-OD=

DQ=OM=2，DP=DA=k，

在Rt△DQP中， ．

∴．

②．

“點睛”此題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數解析式的確定，平面坐標系中求線段的長，等腰三角形的性質，確定出函數解析式是解本題的關鍵. 解（3）是本題的難點.