Question

如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，連接CD，與∠AOB的平分線交于點(diǎn)F．
（1）求證：OE是CD的垂直平分線；
（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理證明．
（2）通過解特殊角三角函數(shù)計算．

解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，
∴DE=CE．
在Rt△EDO與Rt△ECO中，
DE=CE，OE為公共邊，∠DOE=∠COF，
∴OD=OC．
∵OF為角平分線，
∴OE是CD的垂直平分線．

（2）設(shè)OD=a，∠AOB=60°，
∴∠DOE=30°，∠ODF=60°，DF=

1

2

OD=

a

2

．
OF=

3 a

2

．
∵∠ODE=90°，∠ODF=60°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，
tan30°=

EF

DF

=

EF

a 2

=

3

3

，EF=

3 a

6

．
∴OF：FE=

3 a

2

：

3 a

6

=3：1．

點(diǎn)評：考查了特殊角的三角函數(shù)值和角平分線的性質(zhì)．