Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，以2 cm/s 的速度沿折線C→A→B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1 cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t （單位：s）（0＜t＜8）.

(1) 當(dāng)△BDE 是直角三角形時(shí)，求t的值；

(2)若四邊形CDEF是以CD、DE為一組鄰邊的平行四邊形，①設(shè)它的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使平行四邊形CDEF為菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí),或；（2）①當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí), ；②存在, 即當(dāng)時(shí),□CDEF為菱形.

【解析】

（2）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，∠B不可能為直角，所以分兩種情況討論：i）圖1，當(dāng)∠BED=90°時(shí)；ii）圖2，當(dāng)∠EDB=90°時(shí)；利用相似求邊，再利用同角三角函數(shù)值列等式計(jì)算求出t的值；

（3）①根據(jù)點(diǎn)D的位置分兩種情況討論：點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，0＜t≤3；點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，3＜t＜8；CDEF的面積都等于△CDE面積的二倍；

②當(dāng)CDEF為菱形，對角線CE和DF互相垂直且平分，利用BH=BE+EH列式計(jì)算．

（1）如圖1，當(dāng)∠BED=90°時(shí)，△BDE是直角三角形，

則BE=t，AC+AD=2t，

∴BD=6+10-2t=16-2t，

∵∠BED=∠C=90°，

∴DE∥AC，

∴，

∴，

∴DE=，

∵sinB=，

∴，

t=；

如圖2，當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，△BDE是直角三角形，

則BE=t，BD=16-2t，

cosB=，

∴，

∴t=；

答：當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為或；

（3）①如圖3，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，BE=t，CD=2t，CE=8-t，

∴SCDEF=2S△CDE=2××2t×（8-t）=-2t2+16t，

如圖4，當(dāng)3＜t＜8時(shí)，BE=t，CE=8-t，過D作DH⊥BC，垂足為H，

∴DH∥AC，

∴，

∴，

∴DH=，

∴SCDEF=2S△CDE=2××CE×DH=CE×DH=（8-t）×=t2t+；

∴S于t的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S=-2t2+16t，

當(dāng)3＜t＜8時(shí)，S=t2t+；

②存在，如圖5，當(dāng)CDEF為菱形時(shí)，DH⊥CE，

由CD=DE得：CH=HE，

BH=，BE=t，EH=，

∴BH=BE+EH，

∴=t+，

∴t=，

即當(dāng)t=時(shí)，CDEF為菱形．