Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內心．

（1）求證：∠BAD=∠CAE；

（2）設AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）PD的最大值為3；（3）m=105，n=150．

【解析】

（1）根據ASA證明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結論．

（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．

（3）I為△APC的內心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．

（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．

當AD⊥BC時，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．

（3）如圖2，設∠BAP=α，則∠APC=α+30°．

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．

∵I為△APC的內心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°

∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．