Question

【題目】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的長．

Answer 1

【答案】（1）BE=CF，理由見解析；（2）AE＝7，BE＝1

【解析】

（1）連接BD、CD，由線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)得到DE=DF和BD=CD，再根據(jù)HL證明△BED≌△CFD，從而得到結(jié)論；

（2）根據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，從而得到AE=AF，設(shè)BE=x，則CF=x，根據(jù)AE=AB﹣BE和AF=AC+CF得到關(guān)于x的方程，解方程，從而求得AE的長度.

（1）BE=CF，理由如下：

連接BD、CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED與Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

設(shè)BE=x，則CF=x，

∵AB=8，AC=6，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴8﹣x=6+x，

解得：x=1，即BE=1，

∴AE=AB﹣BE=8﹣1=7．