Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x+bx+c 與y軸相交于點 A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線 x=1

（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．

（2）動點M 從點 O 出發，以每秒2個單位長度的速度沿 x 軸正方向運動，同時動點 N 從點O出發，以每秒 3 個單位長度的速度沿y 軸正方向運動，當N點到達 A 點時，M、N同時停止運動．過動點 M 作 x 軸的垂線交線段 AB 于點Q，交拋物線于點 P，設運動的時間為 t 秒．

①當 t 為何值時，四邊形 OMPN 為矩形．

②當 t＞0 時，△BOQ 能否為等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2x+3，B點坐標為（3，0）；（2）①當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形；②當t的值為或時，△BOQ 為等腰三角形．

【解析】

(1)由對稱軸公式可求得b,由A點坐標可求得C,則可求得拋物線解析式;再令y=0可求得B點坐標;

(2)①用t可表示出ON和OM,則可表示出P點坐標,即可表示出PM的長,由矩形的性質可得ON=PM,可得到關于的方程,可求得的值;②由題意可知OB=OA,故當△BOQ為等腰三角形時,只能有OB=BQ或OQ=BQ,用t可表示出Q點的坐標,則可表示出OQ和BQ的長,分別得到關于t的方程,可求得t的值.

（1）∵拋物線 y=﹣x+bx+c 對稱軸是直線 x=1，

∴﹣=1，解得 b=2，

∵拋物線過 A（0，3），

∴c=3，

∴拋物線解析式為 y=﹣x+2x+3，

令 y=0 可得﹣x+2x+3=0，解得 x=﹣1 或 x=3，

∴B 點坐標為（3，0）；

（2）①由題意可知 ON=3t，OM=2t，

∵P 在拋物線上，

∴P（2t，﹣4t+4t+3），

∵四邊形 OMPN 為矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t+4t+3，解得 t=1 或 t=﹣（舍去），

∴當 t 的值為 1 時，四邊形 OMPN 為矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直線 AB 解析式為 y=﹣x+3，

∴當 t＞0 時，OQ≠OB，

∴當△BOQ 為等腰三角形時，有 OB=QB 或 OQ=BQ 兩種情況， 由題意可知 OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ= =，BQ==|2t﹣3|， 又由題意可知 0＜t＜1，

當 OB=QB 時，則有|2t﹣3|=3，解得 t=（舍去）或 t=；

當 OQ=BQ 時，則有=|2t﹣3|，解得 t=；

綜上可知當 t 的值為或 時，△BOQ 為等腰三角形．