Question

【題目】已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD=2，∠DAB=30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q．

（1）當點P運動到使Q、C兩點重合時（如圖1），求AP的長;
（2）點P在運動過程中，有幾個位置（幾種情況）使△CQD的面積為？（直接寫出答案）
（3）當△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的上半圓，CQ＞QD時（如圖2），求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90°．

∵∠DAB=30°，OB=CD=×2=1，

∴AO=2OB=2，AC=AO﹣CO=2﹣1=1．

當Q、C兩點重合時，CP與⊙O相切于點C，如圖1，

則有∠ACP=90°，

∴cos∠CAP===，

解得AP=；

（2）

解：有4個位置使△CQD的面積為．

提示：設點Q到CD的距離為h，

∵S△CQD=CDh=×2×h=，

∴h=．

由于h=＜1，結合圖2可得：

有4個位置使△CQD的面積為

（3）

解：過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，如圖3．

∵S△CQD=CDQN=×2×QN=，∴QN=．

∵CD是⊙O的直徑，QN⊥CD，

∴∠CQD=∠QND=∠QNC=90°，

∴∠CQN=90°﹣∠NQD=∠NDQ，

∴△QNC∽△DNQ，

∴=，

∴QN2=CNDN，

設CN=x，則有=x（2﹣x），

整理得4x2﹣8x+1=0，

解得：x1=，x2=．

∵CQ＞QD，∴x=，

∴=2+．

∵QN⊥CD，PM⊥CD，

∴∠PMC=∠QNC=90°．

∵∠MCP=∠NCQ，

∴△PMC∽△QNC，

∴==2+，

∴MC=（2+）MP．

在Rt△AMP中，

tan∠MAP==tan30°=，

∴AM=MP．

∵AC=AM+MC=MP+（2+）MP=1，

∴MP=，

∴AP=2MP=．

【解析】（1）如圖1，利用切線的性質可得∠ACP=90°，只需求出AC，然后在Rt△ACP中運用三角函數就可解決問題；
（2）易得點Q到CD的距離為，結合圖形2，即可解決問題；
（3）過點Q作QN⊥CD于N，過點P作PM⊥CD于M，連接QD，如圖3，易證△CNQ∽△QND，根據相似三角形的性質可求出CN．易證△PMC∽△QNC，根據相似三角形的性質可得PM與CM之間的關系，由∠MAP=30°即可得到PM與AM之間的關系，然后根據AC=AM+CM就可得到PM的值，即可得到AP的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用公式法和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數隨其后，使其成為最簡比．確定參數abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．