Question

【題目】已如拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝mx+n相交于兩點，這兩點的坐標分別是（0，﹣）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中a，b，c，m，n為實數，且a，m不為0．

（1）求c的值；

（2）求證：拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點；

（3）當﹣1≤x≤1時，設拋物線y＝ax2+bx+c與x軸距離最大的點為P（x0，y0），求這時|y0|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）c＝；（2）見解析；（3）當b＝0，x0＝0時，這時|yo|取最小值，為|yo|＝

【解析】

（1）將（0，）代入拋物線y=ax2+bx+c中即可；

（2）先求n的值，再將點的坐標（m-b，m2-mb+n）代入y=ax2+bx+c中，計算△＞0即可；

（3）先根據公式分別求拋物線的對稱軸和最小值，分四種情況進行討論：

①當＜-1，即b＞2時，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，yo），在x軸下方與x軸距離最大的點是（-1，yo），代入拋物線的解析式中分別求|H|和|h|，作判斷即可；

②當-1≤≤0，即0≤b≤2時，如圖2，

③當0＜≤1，即-2≤b＜0時，如圖3，

④當1＜，即b＜-2時，如圖4，

根據圖象分別求其y0的取值范圍，可得結論．

解：（1）∵（0，）在y＝ax2+bx+c上，

∴＝a×02+b×0+c，

∴c＝；

（2）又可得 n＝，

∵點（m﹣b，m2﹣mb+n）在y＝ax2+bx+c上，

∴m2﹣mb＝a（m﹣b）2+b（m﹣b），

∴（a﹣1）（m﹣b）2＝0，

若（m﹣b）＝0，則（m﹣b，m2﹣mb+n）與（0，）重合，與題意不合，

∴a＝1，

∴拋物線y＝ax2+bx+c，就是y＝x2+bx﹣，

△＝b2﹣4ac＝b2﹣4×（）＝b2+2＞0，

∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點；

（3）拋物線y＝x2+bx的對稱軸為，最小值為，

設拋物線y＝x2+bx在x軸上方與x軸距離最大的點的縱坐標為H，在x軸下方與x軸距離最大的點的縱坐標為h，

①當＜﹣1，即b＞2時，如圖1，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b＞，

在x軸下方與x軸距離最大的點是（﹣1，yo），

∴|h|＝|yo|＝|﹣b|＝b﹣＞，

∴|H|＞|h|，

∴這時|yo|的最小值大于；

②當﹣1≤≤0，即0≤b≤2時，如圖2，在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，yo），

∴|H|＝yo＝+b≥，當b＝0時等號成立．

在x軸下方與x軸距離最大的點是，

∴|h|＝||＝≥，當b＝0時等號成立．

∴這時|yo|的最小值等于．

③當0＜≤1，即﹣2≤b＜0時，如圖3，在x軸上方與x軸距離最大的點是

（﹣1，yo），

∴|H|＝yo＝1+（﹣1）b﹣＝﹣b＞，在x軸下方與x軸距離最大的點是 ，

∴|h|＝|yo|＝||＝＞．

∴這 時|yo|的 最 小 值 大 于．

④當1＜，即b＜﹣2時，如圖4，在x軸上方與x軸距離最大的點是（﹣1，yo），

∴|H|＝﹣b＞，在x軸下方與x軸距離最大的點是（1，yo），

∴|h|＝|+b|＝﹣（b+）＞，

∴|H|＞|h|，

∴這時|yo|的最小值大于，

綜上所述，當b＝0，x0＝0時，這時|yo|取最小值，為|yo|＝．