Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于兩點，交軸與兩點，連接已知．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：是直角三角形；

（3）為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）存在，滿足條件的點的坐標為，，．

【解析】

（1）將點A，C的坐標代入到拋物線的解析式中，即可求出答案；

（2）先將拋物線解析式與直線解析式聯立求出B點坐標，然后利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理即可得出結論；

（3）過點作軸于則，設點的橫坐標為，分四種情況：①若點在點的下方，當時；②若點在點的下方，當時；③若點在點的上方，當時；④若點在點的上方，當時，分別進行計算即可．

（1）把代入

得：，解得：，

拋物線的解析式為；

（2）由題意聯立，

解得：或，

B點的坐標為，

，

是直角三角形；

（3）存在點使得以為頂點的三角形與相似．

過點作軸于則，

設點的橫坐標為，由在軸右側可得則，

，

．

，

．

①若點在點的下方，當時，則，

，

，

，

，則．

把代入，

得，

整理得：，

解得：（舍去），（舍去）；

②若點在點的下方，當時，則，

，

，

，

∴，則，

把代入，得，

整理得：，

解得：（舍去），，

；

③若點在點的上方，當時，則，

同理可得：點的坐標為；

④若點在點的上方，當時，則，

同理可得：點的坐標為；

綜上所述：滿足條件的點的坐標為，，．