Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF、BF、EF，過點F作GF⊥AF交AD于點G，設AD：AE＝n．

（1）線段AE和線段EG的數量關系是：　 　；

（2）如圖②，當點F落在AC上時，用含n的代數式表示AD：AB的值；

（3）若AD＝4AB，且△FCG為直角三角形，求n的值．（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）AE＝EG；（2）；（3）n=16或n＝8+4

【解析】

（1）直接利用等角的余角相等得出∠FGA＝∠EFG，即可得出EG＝EF，代換即可；

（2）先判斷出△ABE∽△DAC，得出比例式用AB＝DC代換化簡即可得出結論；

（3）先判斷出只有∠CFG＝90°或∠CGF＝90°，分兩種情況建立方程求解即可．

解：設AE＝a，則AD＝na，

（1）由對稱知，AE＝FE，

∴∠EAF＝∠EFA，

∵GF⊥AF，

∴∠EAF+∠FGA＝∠EFA+∠EFG＝90°，

∴∠FGA＝∠EFG，

∴EG＝EF，

∴AE＝EG，

故答案為：AE＝EG；

（2）如圖1，當點F落在AC上時，

由對稱知，BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC＝90°，

∵∠DAC+∠BAC＝90°，

∴∠ABE＝∠DAC，

∵∠BAE＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DAC，

∵AB＝DC，

∴AB2＝ADAE＝na2，

∵AB＞0，

∴AB＝a，

（3）若AD＝4AB，則AB＝

如圖2，當點F落在線段BC上時，

EF＝AE＝AB＝a，此時＝a，

∴n＝4，

∴當點F落在矩形內部時，n＞4，

∵點F落在矩形內部，點G在AD上，

① 當時，如圖3，

則點F落在AC上，由（2）得，

②當時,∠CGD+∠AGF＝90°，

∵∠FAG+∠AGF＝90°，

∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE，

∵∠BAE＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DGC，

∴ABDC＝DGAE，

∵DG＝AD﹣AE﹣EG＝na﹣2a＝（n﹣2）a，

∴（）2＝（n﹣2）aa，

∴n＝或n＝（由于n＞4，所以舍），

即：n＝8+4

綜上所述，當或n＝8+4時，△FCG為直角三角形.