Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發，分別在AB，BC邊上勻速移動，它們的速度分別為=2cm/s，=1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示BP=______，BQ=_______；

（2）當t為何值時，△BPQ為等邊三角形？

（3）當t為何值時，△BPQ為直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）6-2t，t.（2）當t=2s時△PBQ為等邊三角形；（3）當t為1.5s或2.4s時△PBQ為直角三角形．

【解析】

（1）由題意可知AP=2t，BQ=t.再根據線段的和差關系即可求解；

（2）當△PBQ為等邊三角形時，則有BP=BQ，即6-2t=t，可求得t；
（3）當PQ⊥BQ時，在Rt△PBQ中，BP=2BQ，可得6-2t=2t；當PQ⊥BP時，可得BQ=2BP，可得2t=2（6-2t）分別求得t的值即可．

解：（1）依題意，得：AP=2t，BQ=t.

∵AB=6,

∴BP=AB-AP=6-2t.

故答案為6-2t，t.

由（1）可知AP=2t，BQ=t，則BP=AB-AP=6-2t，

∵△PBQ為等邊三角形，

∴BP=BQ，

即6-2t=t，

解得t=2，

∴當t=2s時△PBQ為等邊三角形；
（3）①當PQ⊥BQ時，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴在Rt△PBQ中，BP=2BQ，
即6-2t=2t，
解得t=1.5；
②當PQ⊥BP時，同理可得BQ=2BP，即t=2（6-2t），解得t=2.4，
綜上可知當t為1.5s或2.4s時△PBQ為直角三角形．