Question

【題目】如圖，點M（﹣3，m）是一次函數y=x+1與反比例函數y=（k≠0）的圖象的一個交點．

（1）求反比例函數表達式；

（2）點P是x軸正半軸上的一個動點，設OP=a（a≠2），過點P作垂直于x軸的直線，分別交一次函數，反比例函數的圖象于點A，B，過OP的中點Q作x軸的垂線，交反比例函數的圖象于點C，△ABC′與△ABC關于直線AB對稱．

①當a=4時，求△ABC′的面積；

②當a的值為　 　時，△AMC與△AMC′的面積相等．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）①3.5；②當a的值為3時，△AMC與△AMC′的面積相等

【解析】分析：（1）由一次函數解析式可得點M的坐標為（﹣3，﹣2），然后把點M的坐標代入反比例函數解析式，求得k的值，可得反比例函數表達式；

（2）①連接CC′交AB于點D．由軸對稱的性質，可知AB垂直平分OC′，當a=4時，利用函數解析式可分別求出點A、B、C、D的坐標，于是可得AB和CD的長度，即可求得△ABC的面積；

②由△AMC與△AMC′的面積相等，得到C和C′到直線MA的距離相等，從而得到C、A、C′三點共線，故，又由AP＝PN，得到＝a＋1，解方程即可得到結論．

詳解：（1）把M（－3，m）代入y＝x＋1，則m＝－2．

將（－3，－2）代入，得k＝6，則反比例函數解析式是：；

（2）①連接CC′交AB于點D．則AB垂直平分CC′．

當a＝4時，A（4，5），B（4，1.5），則AB＝3.5．

∵點Q為OP的中點，∴Q（2，0），∴C（2，3），則D（4，3），

∴CD＝2，∴×3.5×2＝3.5，則＝3.5；

②∵△AMC與△AMC′的面積相等，

∴C和C′到直線MA的距離相等，∴C、A、C′三點共線，∴．

又∵AP＝PN，∴＝a＋1，解得a＝3或a＝－4（舍去），

∴當△AMC與△AMC′的面積相等時，a的值為3．