Question

【題目】如圖1，四邊形內接于直徑為的圓，．

（1）①_ ；

②四邊形的周長最大值為_ ；

如圖2，延長相交于點，延長相交于點求與的積；

如圖3，連接請問在線段上是否存在點與點關于直線對稱，若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）108；（3）存在，理由見解析

【解析】

（1）①連接BD，根據題意得出△ABD為等邊三角形，再分別作△ABD三邊的垂直平分線BE、DF、AM交于點O，則點O即為該圓的圓心，之后利用求出DM，由此進一步求解即可得出答案；②如圖，延長BC到點E，使CE=CD，連接DE，再過點B作BF垂直于ED的延長線于點F，根據題意進一步證明△DCE為等邊三角形，從而得出BC+CD=BC+CE=BE，然后進一步分析得出當時，BE最大，據此通過分析即可得出答案；

（2）連接，根據題意首先證明∠1=∠F，∠2=∠E，從而得出，然后利用相似三角形性質得出，據此即可求出；

（3）作點與點關于直線對稱，并連接，，結合（2）中的證明得出，由此可得，即，據此，根據題意再接著證明，從而即可得出、、在同一直線上，即在線段上存在點與點關于直線對稱．

（1）

①

如圖，連接BD，

∵AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

再分別作△ABD三邊的垂直平分線BE、DF、AM交于點O，則點O即為該圓的圓心，

∴AO=DO=BO=6，∠ODM=30°，

∴，

∴，

∴；

②如圖，延長BC到點E，使CE=CD，連接DE，再過點B作BF垂直于ED的延長線于點F，

∵∠A=60°，

∴∠DCB=120°，

∴∠DCE=60°，

∵DC=CE，

∴△DCE為等邊三角形，

∴∠E=60°，BC+CD=BC+CE=BE，

在Rt△BFE中，，

∵，

∴當時，BE最大，

∴此時，

∴四邊形的周長最大值為：，

故答案為：①；②；

（2）如圖，連接，

∵∠A=60°，AB=AD，四邊形內接于圓，

∴∠DCB=120°，∠ADB=∠ABD=60°，，

∴∠1+∠E=∠ABD=60°，，，

∴∠1=∠F，∠2=∠E，

∴，

∴，

∴；

（3）存在，理由如下：

如圖，作點與點關于直線對稱，并連接，，

∵△ABD是等邊三角形，點與點關于直線對稱，

∴60°，60°，，

∴60°，

由（2）可知：

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

∴、、在同一直線上，

∴在線段上存在點與點關于直線對稱．