Question

【題目】把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫做第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫做第二次運算，……如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”．例如：

，

所以32和70都是“快樂數”．

（1）最小的兩位“快樂數”是 ；

（2）證明19是“快樂數”；

（3）若一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，把這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，求出這個“快樂數” ．

Answer 1

【答案】（1）最小的兩位“快樂數”是10；

（2）證明見解析；

（3）310和860滿足已知條件.

【解析】試題分析：（1）根據快樂數的定義即刻得到結論；
（2）由19經過兩次運算后結果為1，于是得到結論；
（3）設三位“快樂數”為abc，由題意，經過兩次運算后結果為1，所以第一次運算后結果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10或100即可得出結論.

試題解析：(1)最小的兩位“快樂數”是10.

(2)因為，

所以19是快樂數.

（3）設三位“快樂數”為 abc ，由題意，經過兩次運算后結果為1，所以第一次運算后結果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10 或100,

又因為a、b、c為整數，且a≠0 ，所以當 a2+b2+c2=10 時，

因為 12+32+02=10

當a=1，b=3或0，三位“快樂數”為130，103，

當a=3時，b=1或0，c=0或1，三位“快樂數”為310，301

同理當a2+b2+c2=10 0時，因為62+82+02=100， 所以三位“快樂數”有680，608，806，860.

綜上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八個.又因為三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，所以只有310和860滿足已知條件.