Question

如圖，已知二次函數y=x²-2x-1的圖象的頂點為A．二次函數y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
（1）求點A與點C的坐標；
（2）當四邊形AOBC為菱形時，求函數y=ax²+bx的關系式．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點A的坐標為（1，-2）．
∵二次函數y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
∴二次函數y=ax²+bx的對稱軸為：直線x=1，
∴點C和點O關于直線x=1對稱，
∴點C的坐標為（2，0）．

（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關于直線OC對稱，
因此，點B的坐標為（1，2）．
因為二次函數y=ax²+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），
所以

a+b=2 4a+2b=0

，
解得

a=-2 b=4

，
所以二次函數y=ax²+bx的關系式為y=-2x²+4x．