Question

已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD折疊，使CA到CA′的位置，連接A′B．
（1）求證：四邊形A'BCD是菱形；
（2）若BC=2，試求四邊形A′BCD是菱形的面積S．

Answer 1

分析：（1）要證四邊形A′BCD為菱形，則要通過題中的條件DA′∥CB和四邊相等，（2）求出菱形兩對(duì)角線的長(zhǎng)，根據(jù)面積=兩對(duì)角線乘積的一半算出面積．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB．
又CD是斜邊AB的中線，
∴CD=AD=

1

2

AB=BD．
∴BC=AD=CD=BD，
∴∠DCB=60°，
∴∠A=∠DCA=30°．
∵將△ABC沿CD折疊得△DCA′，
∴DA′=DA=BC，∠DA′C=∠A=30°，∠DCA′=∠DCA=30°，
∴∠A′CB=∠DCB-∠DCA′=60°-30°=30°=∠DA′C，
∴DA′∥CB．∴四邊形A′BCD為菱形．（5分）

（2）∵BC=2，∴BD=2，∴A′C=2

3

，∴S=

1

2

×BD×A'C=2

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．