Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+m與拋物線y＝ax2+bx都經過點A（6，0），點B，過B作BH垂直x軸于H，OA＝3OH．直線OC與拋物線AB段交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點C的縱坐標是時，求直線OC與直線AB的交點D的坐標；

（3）在（2）的條件下將△OBH沿BA方向平移到△MPN，頂點P始終在線段AB上，求△MPN與△OAC公共部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+3x；（2）(4，2)；（3）

【解析】

（1）先求出直線AB的解析式，求出點B坐標，再將A，B的坐標代入y＝ax2+bx即可；

（2）求出直線AC的解析式，再聯立直線OC與直線AB的解析式即可；

（3）設PM與OC、PA分別交于G、H，PN與OC、OA分別交于K、F，分別求出直線OB，PM，OC的解析式，再分別用含a的代數式表示出H，G，E，F的坐標，最后分情況討論，可求出△MPN與△OAC公共部分面積的最大值．

解：（1）∵直線y＝﹣x+m點A（6，0），

∴﹣6+m＝0，

∴m＝6，

∴yAB＝﹣x+6，

∵OA＝3OH，

∴OH＝2，

在yAB＝﹣x+6中，當x＝2時，y＝4，

∴B（2，4），

將A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，

得，，

解得，a＝﹣，b＝3，

∴拋物線的解析式為y＝-x2+3x；

（2）∵直線OC與拋物線AB段交于點C，且點C的縱坐標是，

∴＝﹣x2+3x，

解得，x1＝1（舍去），x2＝5，

∴C（5，），

設yOC＝kx，

將C（5，）代入，

得，k＝，

∴yOC＝x，

聯立，

解得，x＝4，y＝2，

∴點D的坐標為（4，2）；

（3）設直線OB的解析式為yOB＝mx，點P坐標為（a，﹣a+6），

將點B（2，4）代入，

得，m＝2，

∴yOB＝2x，

由平移知，PM∥OB，

∴設直線PM的解析式為yPM＝2x+n，

將P（a，﹣a+6）代入，

得，﹣a+6＝2a+n，

∴n＝6﹣3a，

∴yPM＝2x+6﹣3a，

設PM與OC、PA分別交于G、H，PN與OC、OA分別交于K、F，

聯立，

解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，

∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2，

在yPM＝2x+6﹣3a中，

當y＝0時，x＝，

∴E（，0），OE＝，

∵點P的橫坐標為a，

∴K（a，a），F（a，0），

∴OF＝a，KF＝a，

設△MPN與△OAC公共部分面積為S，

①當0≤a＜4時，

S＝S△OFK﹣S△OEG，

＝×a×a﹣（）（a﹣2），

＝﹣a2+3a﹣3

＝﹣（a﹣3）2+，

∵﹣＜0，根據二次函數的圖象及性質可知，

∴當a＝3時S有最大值；

②當4≤a≤6時，

S＝S△PEF

＝EFPF

＝（a﹣a+3）（﹣a+6）

＝

＝，

∵，根據二次函數的圖象及性質知，當a＝4時，S有最大值1；

∵

∴△MPN與△OAC公共部分面積的最大值為．