Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2經過點A（x1，y1）、C（x2，y2），其中x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的兩根，且x1＜x2，過點A的直線l與拋物線只有一個公共點

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）求直線l的解析式；

（3）如圖2，點B是線段AC上的動點，若過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E，與拋物線相交于點D，過點E作DC的平行線EF與直線AC相交于點F，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，2），C（4，8） （2）y＝﹣2x﹣2 （3）

【解析】

（1）解一元二次方程即可得出點A，C坐標；

（2）先設出直線l的解析式，再聯立拋物線解析式，用△＝0，求出k的值，即可得出直線l的解析式；

（3）設出點B的坐標，進而求出BC，再表示出點D，E的坐標，進而得出BD，BE，再判斷出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

（1）∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的兩根，且x1＜x2，

∴x1＝﹣2，x2＝4，

∴A（﹣2，2），C（4，8）；

（2）①設直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，2）在直線l上，

∴2＝﹣2k+b，

∴b＝2k+2，

∴直線l的解析式為y＝kx+2k+2①，

∵拋物線y＝x2②，

聯立①②化簡得，x2﹣2kx﹣4k﹣4＝0，

∵直線l與拋物線只有一個公共點，

∴△＝（2k）2﹣4（﹣4k﹣4）＝4k2+16k+16＝4（k2+4k+4）＝4（k+2）2＝0，

∴k＝﹣2，

∴b＝2k+2＝﹣2，

∴直線l的解析式為y＝﹣2x﹣2；

②平行于y軸的直線和拋物線y＝x2只有一個交點，

∵直線l過點A（﹣2，2），

∴直線l：x＝﹣2；

（3）由（1）知，A（﹣2，2），C（4，8），

∴直線AC的解析式為y＝x+4，

設點B（m，m+4），

∵（4.8），

∴BC＝|m﹣4|＝（4﹣m）

∵過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E，與拋物線相交于點D，

∴D（m，m2），E（m，﹣2m﹣2），

∴BD＝m+4﹣m2，BE＝m+4﹣（﹣2m﹣2）＝3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF＝6．