Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A．點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作y軸垂線交y軸于點(diǎn)N，連接MN交BC于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求t的值；

（3）如圖②，連接AM交BC于點(diǎn)D，當(dāng)△PDM是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值為；（3）當(dāng)△PDM是等腰三角形時(shí)，t＝1或t＝﹣1．

【解析】

（1）求直線y=-x+4與x軸交點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)C，用待定系數(shù)法即求得拋物線解析式．
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C坐標(biāo)求得∠OBC=45°，又PE⊥x軸于點(diǎn)E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各線段，得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而用m表示點(diǎn)M縱坐標(biāo)，求得MP的長(zhǎng)．根據(jù)MP∥CN可證，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到關(guān)于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因?yàn)椴淮_定等腰△PDM的底和腰，故需分3種情況討論：①若MD=MP，則∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合題意；②若DM=DP，則∠DMP=∠MPD=45°，進(jìn)而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，則∠PMD=∠PDM，由對(duì)頂角相等和兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF進(jìn)而得CF=CD．用t表示M的坐標(biāo)，求直線AM解析式，求得AM與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)，即能用t表示CF的長(zhǎng)．把直線AM與直線BC解析式聯(lián)立方程組，解得x的值即為點(diǎn)D橫坐標(biāo)．過(guò)D作y軸垂線段DG，得等腰直角△CDG，用DG即點(diǎn)D橫坐標(biāo)，進(jìn)而可用t表示CD的長(zhǎng)．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．

（1）直線y＝﹣x+4中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4

∴C（0，4）

當(dāng)y＝﹣x+4＝0時(shí)，解得：x＝4

∴B（4，0）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)

∴ 解得：

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4

（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°

∴OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB＝45°

∵ME⊥x軸于點(diǎn)E，PB＝t

∴∠BEP＝90°

∴Rt△BEP中，

∴，

∴

∵點(diǎn)M在拋物線上

∴，

∴ ，

∵PN⊥y軸于點(diǎn)N

∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°

∴四邊形ONPE是矩形

∴ON＝PE＝t

∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t

∵MP∥CN

∴△MPQ∽△NCQ

∴

∴

解得：（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合，故舍去）

∴t的值為

（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE

∴∠BPE＝∠PBE＝45°

∴∠MPD＝∠BPE＝45°

①若MD＝MP，則∠MDP＝∠MPD＝45°

∴∠DMP＝90°，即DM∥x軸，與題意矛盾

②若DM＝DP，則∠DMP＝∠MPD＝45°

∵∠AEM＝90°

∴AE＝ME

∵y＝﹣x2+3x+4＝0時(shí)，解得：x1＝﹣1，x2＝4

∴A（﹣1，0）

∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t

∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t

∴5﹣t＝﹣t2+5t

解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，則∠PMD＝∠PDM

如圖，記AM與y軸交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G

∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF

∴CF＝CD

∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），設(shè)直線AM解析式為y＝ax+m

∴ 解得： ，

∴直線AM：

∴F（0，t）

∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t

∵tx+t＝﹣x+4，解得：，

∴，

∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°

∴，

∴

解得：

綜上所述，當(dāng)△PDM是等腰三角形時(shí)，t＝1或．