Question

【題目】如圖△ABC，AB=AC，將△ABC繞點A順時針旋轉得到△AEF，連結BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；

（2）已知四邊形ACDE是菱形，∠BAC=45°，AB=AC=1．

①求旋轉角 ∠BAE的度數；

②求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①90°；②

【解析】

（1）先由旋轉的性質得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據旋轉的性質得到BE=CD；

（2）①由菱形的性質得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據等腰三角形的性質得∠AEB=∠ABE，根據平行線得性質得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，即可求出∠BAE的度數；

②由△ABE為等腰直角三角形，可求出BE=AC=再利用BD=BE-DE即可求解．

(1)證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，

即∠EAB=∠FAC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，

∴BE=CF；

(2)解：①∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，

∴DE=AE=AC=AB=1,AC∥DE，

∴∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴∠BAE＝90°；

②∵△ABE為等腰直角三角形，

∴BE=AC=，

∴BD=BEDE=1.