Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過點O且EF⊥AC分別交DC于點F，交AB于點E，點G是AE中點且∠AOG=30°，給出以下結論： ①∠AFC=120°；
②△AEF是等邊三角形；
③AC=3OG；
④S△AOG= S△ABC
其中正確的是 ． （把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B=90°，
∴∠FCA=∠OAG，
∵O為AC中點，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
∵點G是AE中點且∠AOG=30°，
∴OG= AE=AG，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠FCA=∠FAC=30°，
∴∠AFC=180°﹣30°﹣30°=120°，①正確；
∵∠FAE=30°+30°=60°，∠AEO=90°﹣30°=60°，
∴∠AFE=60°，
∴△AEF是等邊三角形，②正確；
∵∠OAG=30°，EF⊥AC，
∴AE=2OE=2OG，
∴OA= OE= OG，
∴AC=2OA=2 OG，③不正確；
∵點G是AE中點，
∴S△AOG= S△AOE ，
∵∠AOE=90°=∠B，∠OAE=∠BAC，
∴△AOE∽△ABC，相似比為 = = = ，
∴ =（ ）= ，
∴S△AOG= S△ABC ， ④正確；
故答案為：①②④．
由矩形的性質得出AB∥CD，∠B=90°，得出∠FCA=∠OAG，由線段垂直平分線的性質得出AF=CF，得出∠FAC=∠FCA，由直角三角形的性質得出OG= AE=AG，得出∠OAG=∠AOG=30°，求出∠FCA=∠FAC=30°，再由三角形內角和定理得出①正確；求出∠FAE=∠AEO=∠AFE=60°，得出△AEF是等邊三角形，②正確；由含30°角的直角三角形的性質和勾股定理得出OA= OE= OG，得出AC=2OA=2 OG，③不正確；由中點的性質得出S△AOG= S△AOE ， 證明△AOE∽△ABC，得出 = ，得出S△AOG= S△ABC ， ④正確，即可得出結論．