Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM=x．
（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切；
（3）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

；
∴AN=

3

4

x；
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連接AO，OD，則AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

4

=

MN

5

，
∴MN=

5

4

x
∴OD=

5

8

x，
過M點作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=

5

8

x，
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴

BM

BC

=

QM

AC

，
∴BM=

5× 5 8 x

3

=

25

24

x，AB=BM+MA=

25

24

x+x=4
∴x=

96

49

，
∴當x=

96

49

時，⊙O與直線BC相切；

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連接AP，則O點為AP的中點．
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，
∴△AMO∽△ABP，
∴

AM

AB

=

AO

AP

=

1

2

，
∵AM=MB=2，
故以下分兩種情況討論：
①當0＜x≤2時，y=S_△PMN=

3

8

x²，
∴當x=2時，y最大=

3

8

×4=

3

2

，
②當2＜x＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F，
∵四邊形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四邊形MBFN是平行四邊形；
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-（4-x）=2x-4，
又∵△PEF∽△ACB，
∴(

PF

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S_△PEF=

3

2

（x-2）²；
y=S_△MNP-S_△PEF=

3

8

x²-

3

2

（x-2）²=-

9

8

x²+6x-6，
當2＜x＜4時，y=-

9

8

x²+6x-6=-

9

8

（x-

8

3

）²+2，
∴當x=

8

3

時，滿足2＜x＜4，y最大=2．
綜上所述，當x=

8

3

時，y值最大，最大值是2．