Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P在∠BCA平分線CD上，且PA＝PB．

（1）用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)作法）；

（2）判斷△ABP的形狀（不需要寫(xiě)證明過(guò)程）

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)等腰直角三角形.

【解析】

（1）由PA=PB知點(diǎn)P同時(shí)還在線段AB的中垂線上，據(jù)此作圖可得；

（2）點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△ABP是等腰直角三角形．

（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；

（2）△ABP是等腰直角三角形，

理由如下：過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F．

∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，

∴PE＝PF．

在Rt△APE與Rt△BPF中，

∵，

∴Rt△APE≌Rt△BPF．

∴∠APE＝∠BPF，

∵∠PEC＝90°，∠PFC＝90°，∠ECF＝90°，

∴∠EPF＝90°，

∴∠APB＝90°．

又∵PA＝PB，

∴△ABP是等腰直角三角形．