Question

【題目】把兩個等腰直角△ABC和△ADE按如圖1所示的位置擺放，將△ADE繞點A按逆時針方向旋轉，如圖2，連接BD，EC，設旋轉角為α（0°＜α＜360°）

（1）當DE⊥AC時，AD與BC的位置關系是　 　，AE與BC的位置關系是　 　；

（2）如圖2，當點D在線段BE上時，求∠BEC的度數；

（3）當旋轉角α＝　 　時，△ABD的面積最大．

Answer 1

【答案】（1）垂直，平行；（2）∠BEC＝90°；（3）90°或270°

【解析】

（1）根據題意畫出圖形，利用三線合一性質可證明AD與BC垂直，再根據平行線的判定可證明AE與BC平行；

（2）利用等腰三角形的性質證明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；

（3）根據題意畫出圖形，由題意知，點D的軌跡在以A為圓心，AD為半徑的圓上，在△ABD中，當以AB為底時，當點D到AB的距離最大時，△ABD的面積最大，當AD⊥AB時，△ABD的面積最大，所以旋轉角為90°或270°．

解：（1）設AC與DE交于點H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，

∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，

∵DE⊥AC，

∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，

∴∠BAD＝∠DAH，

∴AD⊥BC，

∵∠EAH＝∠C＝45°，

∴AE∥BC，

故答案為：垂直，平行；

（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，

在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB＝∠AEC＝180﹣∠ADE＝135°，

∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135﹣45°＝90°；

（3）由題意知，點D的軌跡在以A為圓心，AD為半徑的圓上，如圖3﹣1，3﹣2，

在△ABD中，當以AB為底時，當點D到AB的距離最大時，△ABD的面積最大，

故如圖3﹣1，3﹣2所示，當AD⊥AB時，△ABD的面積最大，所以旋轉角為90°或270°，

故答案為90°或270°．