Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上M點處，延長BC、EF交于點N．有下列四個結論：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等邊三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，將正確結論的序號全部選對的是（ ）

A. ①②③

B. ①②④

C. ②③④

D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】試題分析：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，由折疊的性質可得：∠EMF=∠D=90°，DF=MF，

即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正確；

∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC， ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，

∴∠BFE=∠BFN， ∵∠BFE+∠BFN=180°， ∴∠BFE=90°， 即BF⊥EN，故②正確；

∵在△DEF和△CNF中，∠D=∠FCN=90°，DF=CF，∠DFE=∠CFN∴△DEF≌△CNF（ASA），

∴EF=FN， ∴BE=BN， 但無法求得△BEN各角的度數， ∴△BEN不一定是等邊三角形；故③錯誤；

∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM， ∴BE=3EM，

∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；∴④正確.