Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于E、F兩點，連結DE，已知∠B=30°，⊙O的半徑為12，弧DE的長度為4π．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD、OE，

∵AD是⊙O的切線，

∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，

又∵弧DE的長度為4π，

∴ ，

∴n=60，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠ODE=60°，∴∠EDA=30°，

∴∠B=∠EDA，

∴DE∥BC．

（2）解：連接FD，

∵DE∥BC，

∴∠DEF=∠C=90°，

∴FD是⊙0的直徑，

由（1）得：∠EFD= ∠EOD=30°，FD=24，

∴EF=12 ，

又∵∠EDA=30°，DE=12，

∴AE=4 ，

又∵AF=CE，∴AE=CF，

∴CA=AE+EF+CF=20 ，

又∵ ，

∴BC=60．

【解析】（1）要證明DE∥BC，可證明∠EDA=∠B，由弧DE的長度為4π，可以求得∠DOE的度數，再根據切線的性質可求得∠EDA的度數，即可證明結論．（2）根據90°的圓周角對的弦是直徑，可以求得EF，的長度，借用勾股定理求得AE與CF的長度，即可得到答案．