Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（-2，0），（6，-8）．
（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標；
（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．
（4）若F點坐標為（4，0），OF繞點O順時針旋轉得到OF′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接F′B、F′C，求2F′B+F′C的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求拋物線的函數表達式和直線DE的解析式，利用配方法求拋物線的對稱軸，即點E的橫坐標為x=3，代入直線DE中可求得E的縱坐標，根據對稱性求得點B的坐標；
（2）如圖1，根據△FOE≌△FCE，對應邊相等，得FC=FO，所以F在OC的中垂線上，點F縱坐標為-4，代入拋物線后求得點F的坐標；
（3）由題意可知：分情況討論：即當OP=OQ和當OQ=PQ時，△OPQ是等腰三角形，構建平行線，利用相似三角形的性質和判定，結合待定系數法解一次函數的解析式，即可求出結論；
（4）如圖4中，取點K（0，-2），連接BK、KF′、OF′，只要證明△KOF′∽△F′OC，推出KF′=$\frac{1}{2}$F′C，所以2BF′+CF′=2（BF′+$\frac{1}{2}$CF′）≥2BK，所以當K、F′、B共線時，2BF′+CF′的值最小，最小值為2BK．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-8經過點A（-2，0），D（6，-8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8=$\frac{1}{2}$（x-3）²-$\frac{25}{2}$，
∴拋物線對稱軸為直線x=3，
又∵拋物線與x軸交于點A、B兩點，點A坐標（-2，0），
∴點B坐標（8，0）．
設直線l的解析式為y=kx，
∵經過點D（6，-8），
∴6k=-8，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x，
∵點E為直線l與拋物線的交點，
∴點E的橫坐標為3，縱坐標為-$\frac{4}{3}$×3=-4，
∴點E坐標（3，-4）．
（2）如圖1，拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE，
過C作CG⊥對稱軸于G，
當x=0時，y=-8，
∴C（0，-8），
∴OC=8，
∵E（3，-4），
由勾股定理得：OE=5，CE=5，
∴OE=CE，
此時點F縱坐標為-4，
∴$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，
∴x²-6x-8=0，
x=3±$\sqrt{17}$，
∴點F坐標（3+$\sqrt{17}$，-4）或（3-$\sqrt{17}$，-4）；
（3）①如圖2中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形．
∵點E坐標（3，-4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H．則$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OE}{OQ}$，
∴OM=OE=5，
∴點M坐標（0，-5）．
設直線ME的解析式為y=k₁x-5，
∴3k₁-5=-4，
∴k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直線ME解析式為y=$\frac{1}{3}$x-5，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x-5=0，解得x=15，
∴點H坐標（15，0），
∵MH∥PB，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OB}{OH}$，即$\frac{-m}{5}$=$\frac{8}{15}$，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
②如圖3，
當QO=QP時，△POQ是等腰三角形．
由（2）得OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
設直線CE交x軸于N，解析式為y=k₂x-8，
∴3k₂-8=-4，
∴k₂=$\frac{4}{3}$，
∴直線CE解析式為y=$\frac{4}{3}$x-8，
令y=0，得$\frac{4}{3}$x-8=0，
∴x=6，
∴點N坐標（6，0），
∵CN∥PB，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-m}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴m=-$\frac{32}{3}$．
③OP=PQ時，顯然不可能，理由，
∵D（6，-8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
綜上所述，當m=-$\frac{8}{3}$或-$\frac{32}{3}$時，△OPQ是等腰三角形；
（4）如圖4中，取點K（0，-2），連接BK、KF′、OF′．
∵∠KOF′=∠COF′，OK=2，OF′=4，OC=OB=8，
∴$\frac{OK}{OF′}$=$\frac{OF′}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△KOF′∽△F′OC，
∴KF′=$\frac{1}{2}$F′C，
∴2BF′+CF′=2（BF′+$\frac{1}{2}$CF′）≥2BK，
∴當K、F′、B共線時，2BF′+CF′的值最小，最小值為2BK=2•$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=4$\sqrt{17}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了一次函數的性質、待定系數法、等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會分類討論，注意不能漏解，與方程相結合，本題構造相似三角形解決最值問題是難點，屬于中考壓軸題．．