Question

【題目】如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=β．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當β=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當β為多少度時，△AOD是以OD為底邊的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△AOD是直角三角形，理由見解析；（3）125°．

【解析】

（1）根據圖形旋轉的性質，得OC=DC，∠OCD=60°，進而即可得到結論；

（2）由等邊三角形的性質得∠ODC=60°，結合∠ADC=∠BOC=β=150°，即可得到結論；

（3）由題意得∠AOD=β-60°，結合周角的定義，列出關于β的方程，即可求解．

（1）∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，

∴ OC=DC，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形；

（2）△AOD是直角三角形，理由如下：

∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∵∠ADC=∠BOC=β=150°，

∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，

∴△AOD是直角三角形；

（3） ∵△AOD是以OD為底邊的等腰三角形，

∴∠ADO=∠AOD=∠ADC-60°=β-60°，

∵110°+β+（60°+∠AOD）=360°，

∴110°+β+（60°+β-60°）=360°，

∴β=125°，

∴當β=125°時，△AOD是以OD為底邊的等腰三角形．