Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，O 是坐標原點，長方形 OACB 的頂點 A，B 分別在 x，y 軸上，已知 OA=3， 點 D 為 y 軸上一點，其坐標為（0，1），CD=5，點 P 從點 A 出發以每秒 1 個單位的速度沿線段 A﹣C﹣B 的方向運動，當點 P 與點 B 重合時停止運動，運動時間為 t 秒

(1)求 B，C 兩點坐標；

(2)①求△OPD 的面積 S 關于 t 的函數關系式；

②當點 D 關于 OP 的對稱點 E 落在 x 軸上時，求點 E 的坐標；

(3)在（2）②情況下，直線 OP 上求一點 F，使 FE+FA 最小．

Answer 1

【答案】(1) B（0，5），C（3，5）;(2)①S=-t+4（t≥0）；②(1,10);(3)見解析.

【解析】

（1）由四邊形OACB是矩形，得到BC=OA=3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD==4，OB=5，從而求得點的坐標；

（2）①當點P在AC上時，OD=1，BC=3，S=，當點在BC上時，OD=1，BP=5+3-t=8-t，得到S=×1×（8-t）=-t+4；

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，得到點D的對稱點是（1，0），求得E（1，0）；

（3）由點D、E關于OP對稱，連接AD交OP于F，找到點F，從而確定AD的長度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD=，即AF+EF的最小值=．

（1）如圖1，

∵四邊形OACB是矩形，

∴BC=OA=3，

在Rt△BCD中，∵CD=5，BC=3，

∴BD==4，

∴OB=5，

∴B（0，5），C（3，5）；

（2）①當點P在AC上時，OD=1，BC=3，

∴S=，

當點在BC上時，OD=1，BP=5+3-t=8-t，

∴S=×1×（8-t）=-t+4；（t≥0）

②當點D關于OP的對稱點落在x軸上時，點D的對稱點是（1，0），

∴E（1，0）；

（3）如圖2

∵點D、E關于OP對稱，連接AD交OP于F，

則AD的長度就是AF+EF的最小值，則點F即為所求．