Question

如圖，矩形ABCD中，AB="10" cm，BC="6" cm．現有兩個動點P，Q分別從A，B同時出發，點P在線段AB上沿AB方向作勻速運動，點Q在線段BC上沿BC方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1 cm/s，運動時間為t s．

（1）設點Q的運動速度為 cm/s．
①當△DPQ的面積最小時，求t的值；
②當△DAP∽△QBP相似時，求t的值．
（2）設點Q的運動速度為a cm/s，問是否存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①t="6" ②t=－6＋2 （2）①a=

試題分析：（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD－S_△DAP－S_△PBQ－S_△QCD
=60－×6×t－×(10－t)×t－×10×(6－t)
=t²－3t＋30
=(t－6)²＋21．
∵0≤t≤10，∴當t="6" s時，S_△DPQ的最小值為21 cm²．
②當△DAP∽△QBP相似時，有．
即，解得t₁=－6＋2，t₂=－6－2（舍去）．
∴t=－6＋2時，△DAP∽△QBP．
（2）假設存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似，

則AP=t，AQ=at．以下分4種情況進行討論．
①當∠1＝∠3＝∠4時，有．
∴，解得t₁=2，t₂=18（舍去）．
此時a=．
②當∠1＝∠3＝∠5時，有∠DPQ＝∠PQD＝∠PDQ＝90°．
此等式不成立．∴不存在這樣的a值．
③當∠1＝∠2＝∠4時，有．
∴，即有整理，得5t²－36＋180=0，△＜0，方程無實數解．
∴不存在這樣的a值．
④當∠1＝∠2＝∠5時，∵AB∥DC，∴∠1＝∠PDC＞∠5．故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在a的值，使得△DAP與△PBQ和△QCD這兩個三角形都相似，此時a=
點評：該題分析時較為復雜，以圖形的邊長為路程，分析時間的變動，以及角的變化，是常考題。