Question

【題目】如圖，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內接圓⊙O，AC⊥BD于點H，P為CA延長線上的一點，且∠PDA=∠ABD

(1) 試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由

(2) 若tan∠ADB= ，PA=AH，求BD的長

Answer 1

【答案】（1）PD與圓O相切．理由見解析；（2）25

【解析】

試題分析：（1）首先連接DO并延長交圓于點E，連接AE，由DE是直徑，可得∠DAE的度數，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可證得PD⊥DO，即可得PD與圓O相切于點D；

（2）首先由tan∠ADB=，可設AH=3k，則DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DEcos30°=25

試題解析：（1）PD與圓O相切．

理由：如圖，連接DO并延長交圓于點E，連接AE，

∵DE是直徑，

∴∠DAE=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

∵∠PDA=∠ABD=∠AED，

∴∠PDA+∠ADE=90°，

即PD⊥DO，

∴PD與圓O相切于點D；

（2）∵tan∠ADB=

∴可設AH=3k，則DH=4k，

∵PA=AH，

∴PA=（4-3）k，

∴PH=4k，

∴在Rt△PDH中，tan∠P=，

∴∠P=30°，∠PDH=60°，

∵PD⊥DO，

∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，

連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，

∴BD=DEcos30°=25