Question

【題目】D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點，O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．

（1）如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數量關系？為什么？

（3）當OA與BC滿足 時，四邊形DGEF是一個矩形（直接填答案，不需證明．）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AO=BC；（3）OA⊥BC．

【解析】

試題分析：（1）首先利用三角形中位線的性質得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．

（3）利用（1）中所求，只要鄰邊相互垂直的平行四邊形即為矩形．

（1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點．

∴DE∥BC，DE=BC．

同理，GF∥BC，GF=BC．

∴DE∥GF，DE=GF．

∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：解法一：點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上．

∵由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，

∴點O的位置滿足兩個要求：AO=BC，且點O不在射線CD、射線BE上時，

可得GD=AO，GF=BC，

∴DG=GE，

∴平行四邊形DEFG是菱形；

解法二：點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括射線CD、射線BE與⊙A的交點．

解法三：過點A作BC的平行線l，點O在以A為圓心，BC為半徑的一個圓上，但不包括l與⊙A的兩個交點．

（3）由（1）知，四邊形DEFG是平行四邊形．

當OA⊥BC時，DG⊥GF，

故平行四邊形DGFE是矩形．

故答案是：OA⊥BC．