Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點是拋物線在第四象限上的一個動點，當四邊形的面積最大時，求點的坐標，并求出四邊形的最大面積；

（3）若為拋物線對稱軸上一動點，直接寫出使為直角三角形的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P點坐標為， ；（3） 或或或．

【解析】

（1）根據待定系數法把A、C兩點坐標代入可求得二次函數的解析式；
（2）由拋物線解析式可求得B點坐標，由B、C坐標可求得直線BC解析式，可設出P點坐標，用P點坐標表示出四邊形ABPC的面積，根據二次函數的性質可求得其面積的最大值及P點坐標；
（3）首先設出Q點的坐標，則可表示出QB2、QC2和BC2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三種情況，求解即可.

解：（1）∵A(-1,0)，在上，

，解得，

∴二次函數的解析式為；

（2）在中，令可得，解得或，

，且，

∴經過、兩點的直線為，

設點的坐標為，如圖，過點作軸，垂足為，與直線交于點，則，

，

∴當時，四邊形的面積最大，此時P點坐標為，

∴四邊形的最大面積為；

（3），

∴對稱軸為，

∴可設點坐標為，

，，

，，，

為直角三角形，

∴有、和三種情況，

①當時，則有，即，解得或，此時點坐標為或；

②當時，則有，即，解得，此時點坐標為；

③當時，則有，即，解得，此時點坐標為；

綜上可知點的坐標為或或或．