Question

17．已知四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形．
（1）如圖1，若∠ACB=∠ABD=60°，則△ABD的形狀是等邊三角形；
（2）如圖（1）的條件下，求證：AC=BC+CD；
（3）如圖2，若∠ACB=∠ABD=45°，題（2）中結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間滿足的數量關系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，則可判定△ABD為等邊三角形；
（2）延長CB至點E，使BE=CD，連接AE，如圖1，先證明△ABE≌△ADC得到AE=AC，則判定△AEC是等邊三角形得到AC=EC，則AC=EB+BC=CD+BC；
（3）延長CB至點E，使BE=CD，如圖1，先判定△ABD為等腰直角三角形得到∠BAD=90°，AB=AD，再證明△ABE≌△ADC得到AE=AC，∠E=∠ACD=45°，則可判斷△AEC是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$AC，由于CE=BE+BC=DC+BC，于是得到CD+BC=$\sqrt{2}$AC．

解答 解：（1）∵∠ADB=∠ACB=60°，
而∠ABD=60°
∴△ABD為等邊三角形；
故答案為等邊；
（2）延長CB至點E，使BE=CD，連接AE，如圖1，
∵△ABD為等邊三角形，
∴AB=AD，
在△ABE和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠ABE=∠ADC}\\{BE=DC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
而∠ACB=60°，
∴△AEC是等邊三角形，
∴AC=EC，
∴AC=EB+BC=CD+BC，
即AC=BC+CD；
（3）（2）中的結論不成立；它們的關系是 CD+BC=$\sqrt{2}$AC．理由如下：
延長CB至點E，使BE=CD，如圖1，
∵∠ADC=∠ACB=45°，
而∠ABD=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
與（2）證法一樣可得△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，∠E=∠ACD=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
而CE=BE+BC=DC+BC，
∴CD+BC=$\sqrt{2}$AC．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等邊三角形的判斷與性質和等腰直角三角形的判定與性質；合理構建全等三角形證明線段相等．