Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD，AE⊥BC交點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B＝60°．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合等角的補(bǔ)角相等，可得出∠AFD=∠C=120°、AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)可得出∠ADF=∠DEC，進(jìn)而即可證出△ADF∽△DEC；
（2）由AE及∠B的值可求出BE、CE的長度，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的長度，由△ADF∽△DEC利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF的長度，再將其代入EF=DE-DF中即可求出EF的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠AFE＝∠B＝60°，

∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DEC，

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵AE＝3，∠B＝60°，

∴BE＝，CE＝4﹣．

在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，

∴DE＝=5．

∵△ADF∽△DEC，

∴，即，

∴DF＝，

∴EF＝DE﹣DF＝．