Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點，F為BE上的一點，連結CF并延長交AB于點M，MN⊥CM交射線AD于點N．

（1）當F為BE中點時，求證：AM＝CE；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）3

【解析】

（1）根據矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據全等三角形的即可得證；

（2）連接OB，根據等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，再根據矩形的性質可得OA＝OB，根據等邊對等角的性質可得∠BAC＝∠ABO，再根據三角形的內角和定理列式求出∠ABO＝30°，即∠BAC＝30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．

解：（1）當F為BE中點時，如圖1，

則有BF＝EF．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，AB∥DC，

∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

∵ ，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM＝EC．

∵E為CD的中點，

∴EC＝DC，

∴BM＝EC＝DC＝AB，

∴AM＝BM＝EC；

（2）如圖2所示：設MB＝a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴EC:BM=EF:BF＝2，

∴EC＝2a，

∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB﹣MB＝3a．

∵AB:BC＝2，

∴BC＝AD＝2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN＝90°，

∴∠AMN+∠BMC＝90°．

∵∠A＝90°，

∴∠ANM+∠AMN＝90°，

∴∠BMC＝∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴AN:BM=AM:BC，

∴AN:a=3a:2a，

∴AN＝a，ND＝AD﹣AN＝2a﹣a＝a，

∴＝ ＝3．