Question

已知拋物線y=ax²+bx-4的圖象與x相交于A、B（點A在B的左邊），與y軸相交于C，拋物線過點A（-1，0）且OB=OC．P是線段BC上的一個動點，過P作直線PE⊥x軸于E，交拋物線于F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△BPE與△BPF的兩面積之比為2：3時，求E點的坐標；
（3）設OE=t，△CPE的面積為S，試求出S與t的函數關系式；當t為何值時，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）中，當S取得最大值時，在拋物線上求點Q，使得△QEC是以EC為底邊的等腰三角形，求Q的坐標．

Answer 1

（1）易知：C（0，-4），即OC=4；
故OB=OC=4，B（4，0）；
將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

a-b-4=0 16a+4b-4=0

，
解得

a=1 b=-3

；
故拋物線的解析式為：y=x²-3x-4．

（2）設E（x，0）（0＜x＜4），易知直線BC：y=x-4，則P（x，x-4），F（x，x²-3x-4）；
故PE=4-x，PF=（x-4）-（x²-3x-4）=-x²+4x；
①若S_△PBE：S_△PBF=2：3，
則PE：PF=2：3，
即：

4-x

-x2+4x

=

2

3

，
解得x=

3

2

，x=4（舍去），
②若S_△PBE：S_△PBF=3：2，則PE：PF=3：2，
即：

4-x

-x2+4x

=

3

2

，
解得x=

2

3

；x=4（舍去）
綜上所述，E點的坐標為：E（

3

2

，0）或（

2

3

，0）．

（3）若OE=t，則（t，0）；
由（2）知：PE=4-t，則有：
S_△CPE=-

1

2

t2+2t（0≤t≤4）；
當t=2時，S取得最大值，最大值為2．

（4）設線段CE的中點為M，即M（1，-2）；
若△QCE是以EC為底邊的等腰三角形，那么點Q必為線段CE的垂直平分線與拋物線的交點；
由于E（2，0）、C（0，4），
易知直線EC：y=2x-4；
所以設：直線QM：y=-

1

2

x+h，
代入M點坐標得：-

1

2

+h=-2，
即h=-

3

2

；
故直線QM：y=-

1

2

x-

3

2

，聯立拋物線的解析式可得：

y=x2-3x-4 y=- 1 2 x- 3 2

，
解得

x= 5+ 65 4 y= -17- 65 8

，

x= 5- 65 4 y= -17+ 65 8

；
故Q₁（

5+ 65

4

，

-17- 65

8

），Q₂（

5- 65

4

，

-17+ 65

8

）．