Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（1,0）和點B （0，-3），與x軸交于另一點C。

（1）求拋物線的解析式。

（2）在拋物線上是否存在一點D，使△ACD的面積與△ABC的面積相等（點D不與點B重合）？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是拋物線對稱軸上的動點，那么是否存在這樣的點P，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為:. (2)D（-2，-3）（-1±，3）(3) P（-5，12）（3，12）（-1，-4）

【解析】

（1）由待定系數法，把點A、B代入解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）先求出點C的坐標，得到AC和OB的長度，計算出面積，根據面積相等，則設D點坐標為（x，y），求出y的值，然后代入二次函數解析式求出x，即可得到答案；

（3）根據題意，可分為AC為對角線和AC為邊長，兩種情況進行討論，然后根據平行四邊形的性質，即可求出P點坐標.

解：（1）把點A （1，0）和點B （0，-3）代入二次函數解析式，則

，解得：，

∴拋物線的解析式為：.

（2）存在；

由（1）可知，二次函數的對稱軸為：，

∴點C坐標為：（-3，0），

∴AC=4，OB=3，

∴△ABC的面積為：；

設點D坐標為（x，y），則

，

解得：，

∴.

當時，有，

解得：，

∴點D為：（-1±，3）；

當時，有，

解得：，

當時為點B，舍去，

∴點D為（）；

綜合上述，點D的坐標為：（-1±，3）或（）；

（3）存在；

以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則分為兩種情況：

當AC為對角線時，如圖：此時點P在對稱軸上，且點P為拋物線的頂點；

當時，代入拋物線解析式，得

，

則點P坐標為：（）；

②當AC為邊長時，如圖，此時PQ∥AC，PQ=AC=4，

，

∵點Q在直線上，

∴點P的橫坐標為：或，

當時，有，

∴點P為：（3，12）；

當時，有，

∴點P為：（-5，12）；

綜合上述，點P的坐標為：（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）.