Question

【題目】如圖1，點I是△ABC的內心，AI的延長線交△ABC的外接圓⊙O于點D．

（1）求證：DB=DC=DI；

（2）若AB是⊙O的直徑，OI⊥AD，求tan的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根據角平分線的性質即可得到結論；

（2）由AB是⊙O的直徑，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，設OI=x，則BD=AI=2x，AD=4x，得到AB= ，如圖2，過O作OE⊥BD交⊙O于E，連接AE交OI于F，則OE∥AI，得到比例式代入求得IF= ，即可得到結果．

試題解析：（1）證明：∵點I是△ABC的內心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，

∵∠CBD=∠CAD，

∴∠BAD=∠CBD，

∴∠BID=∠ABI+∠BAD，

∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，

∴∠BID=∠IBD，

∴ID=BD，

∵∠BAD=∠CAD，

∴，

∴CD=BD，

∴DB=DC=DI；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴BD⊥AD，OI⊥AD，

∴OI∥BD，

∵OA=OB，

∴AI=DI，

由（1）知ID=BD，

∴AD=2BD，BD=2OI，

設OI=x，則BD=AI=2x，AD=4x，

∴AB= ，

如圖2，過O作OE⊥BD交⊙O于E，連接AE交OI于F，則OE∥AI，

∴，

即 ，

∴IF= ，

∵OE⊥BD，

∴，

∴∠DAE=∠BAD=∠CAD，

∴tan∠DAE= tan=．