Question

【題目】如圖①所示，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

問題探究：

（1）研究小組猜想：在中，若點為上的黃金分割點，如圖②，則直線是的黃金分割線，你認為呢？為什么？

（2）研究小組在進一步探究中發現：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接如圖③，則直線也是的黃金分割線，請你說明理由．

（3）如圖④，點是平行四邊形的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是平行四邊形的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形的黃金分割線，使它不經過四邊形各邊黃金分割點．

（4）如圖⑤等腰梯形，請你畫出它的一條黃金分割線，使它不經過各邊的黃金分割點．

Answer 1

【答案】（1）直線是的黃金分割線，理由見解析；（2）直線也是的黃金分割線，理由見解析；（3）直線就是平行四邊形的黃金分割線；（4）直線就是等腰梯形的黃金分割線．

【解析】

(1)若點D為AB邊上的黃金分割點，則有=.如果設△ABC的邊AB上的高為h，根據三角形的面積公式，易得=，=，即有=，根據圖形的黃金分割線的定義即可判斷；

(2)由于直線CD是△ABC的黃金分割線，所以=．要想說明直線EF也是△ABC的黃金分割線，只需證明=，即證S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC即可．因為DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC．

(3)根據黃金分割線的定義即可作出．本題答案不唯一，作法有無數種．

(4) 分別作出AB、CD的黃金分割點E、F，在FC上取一點N，連接EN，再過點F作FM//NE交AB于點M，連接MN即可.

解：（1）設邊上的高為，

∵，，，

∴，，

∵點為上的黃金分割點，

∴，

∴，

∴直線是的黃金分割線；

（2）∵，

∴和的公共邊上的高也相等，

∴，

如圖③，設直線與直線交于點，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴直線也是的黃金分割線；

（3）如圖④，在上取一點，連接，再過點作交于點，連接，

則直線就是平行四邊形的黃金分割線；

（4）如圖⑤，分別作出、的黃金分割點、，在上取一點，連接，再過點作交于點，連接，

則直線就是等腰梯形的黃金分割線．

故答案為：（1）直線是的黃金分割線，理由見解析；（2）直線也是的黃金分割線，理由見解析；（3）直線就是平行四邊形的黃金分割線；（4）直線就是等腰梯形的黃金分割線．