Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CD上的動點(diǎn)，則AQ+QP的最小值是 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：以CD為軸，將△ACD往上翻轉(zhuǎn)180°，如圖，

過點(diǎn)A作AE⊥A′C于E點(diǎn)，AE交CD于F點(diǎn)，

當(dāng)Q與F點(diǎn)重合，P′與E點(diǎn)重合時，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直線外一點(diǎn)到這條直線中，垂線段最短），

∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，

∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，3

∴∠A′CA=60°，

又∵AC=A′C，

∴△A′CA為等邊三角形，且A′A=2AD=8，

AE=A′Asin∠A′CA=8× =4 ．

故答案為：4 ．

這是一道雙動點(diǎn)問題，以CD為軸，將ACD往上翻轉(zhuǎn)180°，由已知矩形ABCD中，∠CAB=30°，可以得到∠A′AC=60°，易證得△A′AC是等邊三角形，求出邊A′C上的高，由兩點(diǎn)之間線段最短即可得出結(jié)論。也可以作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的中心對稱點(diǎn)A′，過點(diǎn)A′作AC的垂線即可。