Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列結論：

①△ABE≌△ADF；

②∠AEB＝∠AEF；

③正方形ABCD的周長＝2△CEF的周長；

④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正確的是_____．（只填寫序號）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

當E、F不是BC和CD的中點時，BE≠DF，則△ABE和△ADF的邊對應不相等，由此判斷①；延長CD至G，使得DG＝BE，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，即可判斷②；通過周長公式計算，再由BE+DF＝EF，即可判斷③；證明S△ABE+S△ADF＝S△AGF，再由三角形的底與高的數量關系得S△AGF＞S△CEF，進而判斷④．

解：①當E、F不是BC和CD的中點時，BE≠DF，則△ABE≌△ADF不成立，故①錯誤；

②延長CD至G，使得DG＝BE，連接AG，如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形

∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，

∴∠EAF＝∠GAF，

∵AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴∠AEF＝∠G，

∴∠AEB＝∠AEF，故②正確；

③∵△AEF≌△AGF，

∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，

∴△CEF的周長＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，

∵正方形ABCD的周長＝4BC，

∴正方形ABCD的周長＝2△CEF的周長，故③正確；

④∵△ABE≌△ADG，

∴S△ABE＝S△ADG，

∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，

∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，

∴，即S△AGF＞S△CEF，

∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④錯誤；

故答案為：②③．