Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，點C在y軸上，點A（a，0）、點B（a-4，0），位于原點兩側，且∠ABC=60°，AE⊥BC，交y軸于點F，交BC于點E，點D在點B的左側，且∠CDO=45°，AB=2BD
（1）直接寫出∠BCD的度數、AB的長及點C的縱坐標（用含有a的式子表示）
①∠BCD=15°
②AB=4
③C（0，6-a）
（2）求∠ACD的度數；
（3）求點F的坐標（用含有a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①在△BCD中利用三角形外角的性質可求得∠BCD；②利用A、B的坐標可求得AB的長；③由條件可求得OD的長度，則可求得OC的長，可求得C點縱坐標；
（2）連接DE，利用直角三角形的性質可求得BE=BD，進一步可求得DE=AE，可求得CE=AE，則可求得∠ACD；
（3）在Rt△OAF中可求得∠FAO，利用三角函數值可求得OF的長，則可求得F點的坐標．

解答 解：
（1）①∵∠CDO=45°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠ABC-∠CDO=60°-45°=15°
故答案為：15°；
②∵A（a，0）、點B（a-4，0），
∴AB=a-（a-4）=4，
故答案為：4；
③∵AB=2BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AD=AB+BD=6，且OA=a，
∴OC=OD=6-a，
∴C（0，6-a），
故答案為：6-a；
（2）如圖同，連接DE，

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CEF=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2BD，即BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠BED，
∵∠EDB+∠BED=∠ABC=60°，
∴∠EDB=30°，
∴∠CDE=∠CDO-∠EDB=15°，
∴∠CDE=∠BCD=15°，
∴DE=CE，
∵∠EDB=∠BAE=30°，
∴DE=AE，
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACD=∠ACE+∠BCD=45°+15°=60°；
（3）由（2）可知∠BAE=30°，且OA=a，
∴$\frac{OF}{OA}$=tan∠BAE，即$\frac{OF}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及三角形外角的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定和性質及三角函數等知識．在（2）中構造三角形，證明△ACE為等腰直角三角形是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．