Question

【題目】如圖，⊙的圓心在反比例函數的圖像上，且與軸、軸相切于點、，一次函數的圖像經過點，且與軸交于點，與⊙的另一個交點為點.

（1）求的值及點的坐標；

（2）求長及的大小；

（3）若將⊙沿軸上下平移，使其與軸及直線均相切，求平移的方向及平移的距離.

Answer 1

【答案】（1） ，（-3,0；（2）3,60°；（3）向上平移3個單位或向下平移1個單位；

【解析】試題分析：（1）如圖1中，連接AC、AB．首先證明四邊形ABOC是正方形，求出點C坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖2中，連接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，由tan∠CDO=，推出∠CDO=30°，由AC∥BD，推出∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
由AM⊥CE，推出∠CAM=∠EAM=60°，推出∠CAE=120°，在Rt△AMC中，根據CM=ACcos30°=，推出CE=2CM=3，可得∠CBE=∠CAE=60°，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形求解如圖3中，當⊙A″與直線y=相切于點E，AB與直線CD交于點K，想辦法求出AA″，即可解決問題．同法求出AA′．

試題解析：（1）如圖1中，連接AC、AB．

∵⊙A與x軸、y軸相切于點B、C，
∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四邊形ABOC是正方形，設A（m，m），
∵點A在y=上，
∴m2=3，
∵m＞0，
∴點A坐標（， ），
∴OC=，
∴點C坐標（0， ），
∵一次函數y=x+b的圖象經過點C，
∴b=，
∴一次函數的解析式為y=，

令y=0得x=-3，
∴D（-3，0），b=．
（2）如圖2中，連接BC、BE，作AM⊥CE于M．

在Rt△DOC中，∵tan∠CDO=，
∴∠CDO=30°，
∵AC∥BD，
∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，
∵AM⊥CE，
∴∠CAM=∠EAM=60°，
∴∠CAE=120°，
在Rt△AMC中，CM=ACcos30°=，
∴CE=2CM=3，
∴∠CBE=∠CAE=60°．
（3）如圖3中，

①當⊙A″與直線y=相切于點E，AB與直線CD交于點K，
∵AB∥OC，
∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，
在Rt△A″EK中，A″E=，A″K=A″E÷cos30°=2，
在Rt△CKA中，AK=CAtan30°=1，
∴AA″=A″K+AK=1+2=3，
∴⊙A向上平移3的單位⊙A與y軸及直線y=均相切．
②同理可得⊙A向下平移1個單位⊙A與y軸及直線y=均相切．