Question

問題：能比較兩個(gè)數(shù)2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？為了解決這個(gè)問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般彤式，即比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大�。╪是正整數(shù)），然后，我們從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡(jiǎn)單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大�。ㄔ诳崭駜�(nèi)填寫“＞”“=”或“＜”）．
①1²

＜

2¹；
②2³

＜

3²；
③3⁴

＞

4³；
④4⁵

＞

5⁴；
⑤5⁶

＞

6⁵．
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可猜想出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關(guān)系是

當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

．
（3）根據(jù)上面的歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下面兩個(gè)數(shù)的大�。�2009²⁰¹⁰

＞

2010²⁰⁰⁹．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義分別進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果分情況解答；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．

解答：解：（1）①1²=1＜2¹=2；
②2³=8＜3²=9；
③3⁴=81＞4³=64；
④4⁵=1024＞5⁴=625；
⑤5⁶=15625＞6⁵=7776；…

（2）當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2010＞3，
∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．
故答案為：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）當(dāng)n＜3時(shí)，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n≥3時(shí)，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，理解有理數(shù)的乘方的意義準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．