Question

【題目】若拋物線(是常數，)與直線都經過軸上的一點，且拋物線的頂點在直線上，則稱此直線與該拋物線具有“一帶一路”關系．此時，直線叫做拋物線的“帶線”，拋物線叫做直線的“路線”．

（1）若直線與拋物線具有“一帶一路”關系，求的值；

（2）若某“路線”的頂點在反比例函數的圖象上，它的“帶線”的解析式為，求此“路線”的解析式；

（3）當常數滿足時，請直接寫出拋物線：的“帶線”與軸，軸所圍成的三角形面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）p的值為-1，q的值為2；（2）y=x2+2x-1或y= x2+2x-1；（3）≤S≤．

【解析】

（1）由直線解析式可求出直線與y軸的交點坐標，代入可求出q值，根據拋物線解析式可求出頂點坐標，代入即可求出p值；

（2）根據“帶線”解析式可得出直線與y軸的交點坐標為（0，-1），聯立“帶線”與反比例函數解析式可求出拋物線的頂點坐標為（2，1）或（-1，-2），根據二次函數頂點坐標分別設出解析式，把（0，-1）分別代入即可得答案；

（3）由拋物線解析式可得出拋物線與y軸的交點坐標為（0，k），根據拋物線的解析式可用k表示出其頂點坐標，由兩點坐標結合待定系數法即可得出與該拋物線對應的“帶線”l的解析式，找出該直線與x、y軸的交點坐標，結合三角形的面積得出面積S關于k的關系式，由二次函數的性質即可得出結論．

（1）令直線y=px+2中x=0，

∴y=2，

∴直線與y軸的交點為（0，2）；

∵直線與拋物線具有“一帶一路”關系，

∴y=x2-2x+q的圖象經過點（0，2），

∴把（0，2）代入y=x2-2x+q得：q=2，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∴拋物線的頂點坐標為（1，1），

∵直線y=px+2經過拋物線y=x2-2x+q的頂點，

∴1=P+2，

解得：p=-1．

答：p的值為-1，q的值為2．

（2）令“帶線”：中x=0得：y=-1，

∴“帶線”與y軸的交點坐標為（0，-1），

聯立“帶線”與反比例函數解析式得：，

解得：，，

∴拋物線的頂點坐標為（2，1）或（-1，-2），

當頂點坐標為（2，1）時，設“路線”的解析式為y=a(x-2)2+1，

把（0，-1）代入得：-1=4a+1，

解得：a=，

∴“路線”的解析式為y=（x-2）2+1=x2+2x-1，

當頂點坐標為（-1，-2）時，設“路線”的解析式為y=a(x+1)2-2，

把（0，-1）代入得：-1=a-2，

解得：a=1，

∴“路線”的解析式為y=(x+1)2-2=x2+2x-1，

綜上所述：“路線”的解析式為y=x2+2x-1或y= x2+2x-1．

（3）令拋物線：中x=0得：y=k，

∴該拋物線與y軸的交點為（0，k），

∵拋物線的解析式為，

∴頂點坐標為[，]，

設“帶線”的解析式為y=mx+k，

∵點[，]在y=mx+k圖象上，

∴=m[]+k，

解得：m=，

∴“帶線”的解析式為y=x+k，

令“帶線”：y=x+k中y=0得：x+k=0，

解得：x=，

∴“帶線”與x軸得交點為（，0），與y軸交點坐標為（0，k），

∴S=|||k|，

∵，

∴，

∴，

∴當時，S有最大值為，

∵||＜|-4|，

∴當時，時，取最大值，

∴時，S有最小值，

∴S的取值范圍為≤S≤．