Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AP′⊥AB，BP′交 AC 于點 P， AP＝AP′．

（1）求證：∠CBP＝∠ABP；

（2）過點 P′作 P′E⊥AC 于點 E，求證：AE＝CP．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形底角相等和∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′

P＝90°即可解題．

（2）過點 P 作 PD⊥AB 于 D，可證△APD≌△P′AE，可得 AE＝CP．

解：（1）∵AP＝AP′，

∴∠APP′＝∠AP′P，

∵∠C＝90°，AP′⊥AB，

∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′P＝90°，

又∵∠BPC＝∠APP′（對頂角相等），

∴∠CBP＝∠A BP；

（2）如圖，過點 P 作 PD⊥AB 于 D，

∵∠CBP＝∠ABP，∠C＝90°，

∴CP＝DP，

∵P′E⊥AC，

∴∠EAP′+∠AP′E＝90°， 又∵∠PAD+∠EAP′＝90°，

∴∠PAD＝∠AP′E，

在△APD 和△P′AE 中，

，

∴△APD≌△P′AE（AAS），

∴AE＝DP，

∴AE＝CP．