Question

【題目】如圖1，該拋物線是由y＝x2平移后得到，它的頂點坐標為（﹣，﹣），并與坐標軸分別交于A，B，C三點．

（1）求A，B的坐標．

（2）如圖2，連接BC，AC，在第三象限的拋物線上有一點P，使∠PCA＝∠BCO，求點P的坐標．

（3）如圖3，直線y＝ax+b（b＜0）與該拋物線分別交于P，G兩點，連接BP，BG分別交y軸于點D，E．若ODOE＝3，請探索a與b的數量關系．并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）b＝4a+3，理由見解析．

【解析】

（1）根據頂點坐標寫出頂點式，化頂點式為一般式，分別令x=0或y=0即可求出A、B的坐標；

（2）直線CP交x軸于點H，故點H作HG⊥AC交AC的延長線于點G，根據tan∠BCO＝tan∠PCA解直角三角形即可求出H點坐標，由此可求得直線CH的表達式，聯立二次函數解析式即可求得點P坐標；

（3）直線BP的表達式為：y=（m+4）x-（m+4）、直線BG的表達式為：y=（n+4）x-（n+4），故OD=-（m+4），OE=（n+4），ODOE=-（m+4）（n+4）=3，即-[mn+4（m+n）+16]=3，而m+n=a-3，mn=-b-4，即可求解．

解：（1）拋物線的表達式為：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4…①，

令x＝0，則y＝﹣4，故點C（0，﹣4）；

令y＝0，則x＝-4或1，

故點A、B的坐標分別為：（﹣4，0）、（1，0）；

（2）如圖，設直線CP交x軸于點H，故點H作HG⊥AC交AC的延長線于點G，

tan∠BCO＝＝＝tan∠PCA，

∵OA＝OC＝4，故∠BAC＝45°＝∠GAH，

設GH＝GA＝x，則GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，

解得：x＝，

則AH＝x＝，故點H（﹣，0），

設CH的表達式為：y＝kx+b，

將C、H的坐標代入得，解得，

∴CH的表達式為：y＝﹣x﹣4…②，

聯立①②并解得：x＝0（舍去）或，

故點P（﹣，﹣）；

（3）設點P、G的坐標分別為：（m，m2+3m﹣4）、（n，n2+3n﹣4），

由點P、B的坐標得，直線PB的表達式為：y＝（m+4）x﹣（m+4）；

同理直線BG的表達式為：y＝（n+4）x﹣（n+4）；

故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），

直線y＝ax+b（b＜0）…③，

聯立①③并整理得：x2+（3﹣a）x﹣b﹣4＝0，

故m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，

ODOE＝﹣（m+4）（n+4）＝3，

即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，

整理得：b＝4a+3．