Question

如圖所示，在△ABC中，AC與⊙O相切于點A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（1）∠C=

45

°；
（2）BD=

2

；
（3）求圖中陰影部分的面積（結果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）根據切線性質求出∠A，根據等腰三角形性質得出∠C=∠B，根據三角形的內角和定理求出即可；
（2）根據勾股定理求出BC，根據切割線定理得出AC²=CD×BC，代入求出即可；
（3）求出BD=CD，根據三角形的中位線定理求出OD∥AC，求出∠BOD=∠DOA=90°，分別求出扇形BOD和扇形ODA，梯形DOAC，三角形ODB的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）∵AC與⊙O相切于點A，
∴∠CAB=90°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B=

1

2

（180°-∠CAB）=45°，
故答案為：45．

（2）在Rt△ABC中，AC=AB=2，由勾股定理得：BC=

22+22

=2

2

，
由切割線定理得：AC²=CD×BC，
即2²=（2

2

-BD）×2

2

，
解得BD=

2

．
故答案為：

2

．

（3）連接OD．則OD=OB=OA=

1

2

AB=1，
∵BC=2

2

，BD=

2

，
∴CD=BD=

2

，
∵OB=OA，
∴OD∥AC，
∴∠BOD=∠A=90°=∠AOD，
∴陰影部分的面積是S_扇形BOD-S_△BOD+S_梯形DOAC-S_扇形DOA
=

90π×12

360

-

1

2

×1×1+

1

2

×（1+2）×1-

90π×12

360

=1．

點評：本題考查了三角形、扇形、梯形的面積，等腰三角形性質，勾股定理，切割線定理，三角形的中位線等知識點，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．